派遣で就業しつつ、失業保険をもらってもいいのでしょうか？

失業保険受給中に派遣社員として就業をすることは問題ありません。
ただし、以下の4つの条件をクリアしないと、もらえる失業保険が減額されたり、
失業保険を受給できるタイミングが遅れたり、そもそも失業保険自体をもらえなくなってしまう可能性があります。

①7日間の待機期間が終了するまで待つ
ハローワークで失業保険の手続きをしてから7日間の「待機期間」中は、お仕事をしてはいけません。
失業保険受給中にお仕事をするなら、待機期間の終了後にしましょう。

②必ずハローワークに申告する
失業保険をもらいながらアルバイトをする場合は、必ずハローワークに申告しましょう。
4週間に1度ある失業認定日に、働いた日数や収入などを記入した「失業認定申告書」を提出すればOKです。

③労働時間は週20時間以内、契約期間は31日未満にする
労働時間週20時間、契約期間31日を超えると、雇用保険の加入条件を満たしている（就職した）とみなされて、失業保険の受給資格を失ってしまいます。

④1日あたり4時間以上働くようにする
1日4時間未満の場合は、勤務した収入と前職の収入の兼ね合いによって差額が調整され、失業手当が減額される可能性があります。